사람은 학교에 입학하면서 본격적으로 수를 배우기 시작합니다. 수학을 왜 배울까요?
처음에는 1, 2, 3과 같은 숫자를 배우고 덧셈과 뺄셈을 익힙니다. 이후 곱셈과 나눗셈을 배우면서 일상생활에서 필요한 기본적인 계산 능력을 갖추게 됩니다.
그런데 학년이 올라가면서 수학은 점점 다른 모습으로 변합니다.
음수, 분수, 소수, 소인수분해, 방정식, 부등식, 함수, 제곱근, 수열, 삼각함수, 지수와 로그, 미분과 적분, 확률과 통계 등 처음에는 단순했던 계산이 점차 복잡하고 추상적인 영역으로 확장됩니다.
여기서 한 가지 의문이 생깁니다.
우리는 왜 이렇게 많은 수학을 배우는 것일까요?
학교를 졸업하고 사회에 진출한 사람 가운데 미분이나 적분을 직접 계산하는 사람은 얼마나 될까요? 삼각함수나 수열을 사용하는 사람은 얼마나 될까요? 직업에 따라 큰 차이가 있겠지만 상당수 사람은 학교를 졸업한 이후 이러한 수학을 직접 사용할 일이 거의 없습니다.
그럼에도 세계 여러 나라에서는 상당한 시간을 수학 교육에 사용합니다.
왜 그럴까요?
수학은 정말 모든 사람에게 필요한 것일까요? 아니면 과거에 만들어진 교육과정이 오늘날까지 이어지고 있는 것일까요?
이번 글에서는 우리가 당연하게 받아들였던 학교 수학에 대해 조금 다른 방향에서 생각해 보려고 합니다.
먼저 현실적인 질문부터 해볼 필요가 있습니다.
성인이 일상생활에서 가장 자주 사용하는 수학은 무엇일까요?
마트에서 물건 가격을 더하고, 할인율을 계산하고, 월급과 지출을 비교하고, 대출 이자를 확인하고, 식당의 매출과 비용을 계산합니다.
사업을 한다면 매입과 매출, 원가, 이익률, 세금 등을 계산합니다.
이러한 활동의 상당 부분은 기본적인 산술과 비율·백분율 등의 수학으로 처리할 수 있습니다.
반면 다음과 같은 계산을 일상에서 직접 수행하는 사람은 상대적으로 많지 않습니다.
√2의 값을 계산하는 것
이차방정식의 근을 구하는 것
삼각함수의 값을 계산하는 것
수열의 일반항을 구하는 것
함수를 미분하는 것
정적분의 값을 구하는 것
복소수를 계산하는 것
따라서 “학교에서 배운 수학을 성인이 된 뒤 얼마나 직접 사용하는가?”라는 기준만 놓고 보면 학교 수학의 상당 부분이 불필요해 보이는 것은 자연스러운 생각입니다.
하지만 여기에는 중요한 함정이 하나 있습니다.
학교에서 어떤 내용을 배우는 이유가 반드시 그 내용을 나중에 그대로 사용하기 위해서만은 아니라는 것입니다.
사칙연산만 알면 충분하다는 말은 어디까지 맞을까?
“살아가는 데 사칙연산만 알면 된다.”
어느 정도는 맞는 말입니다.
일상적인 계산 대부분은 결국 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈으로 귀결됩니다.
컴퓨터 역시 궁극적으로는 매우 기본적인 연산을 엄청난 속도로 반복하면서 복잡한 작업을 수행합니다.
그러나 여기서 “계산 방법”과 “수학적 개념”을 구분해야 합니다.
예를 들어 연 5% 복리로 자산이 증가한다고 생각해 보겠습니다.
계산 자체는 곱셈을 반복하면 됩니다.
하지만 시간이 흐르면서 자산이 어떤 형태로 증가하는지 이해하려면 지수적인 변화라는 개념이 필요합니다.
주식이 50% 하락한 뒤 다시 50% 상승해도 원금으로 돌아오지 않는 이유도 단순 계산으로 확인할 수 있지만, 비율과 변화율의 개념을 이해하면 훨씬 체계적으로 설명할 수 있습니다.
통계도 마찬가지입니다.
평균을 계산하는 데는 덧셈과 나눗셈만 필요하지만 평균값 하나만 보고 현실을 판단하면 심각한 오류가 생길 수 있습니다. 중앙값, 분산, 표준편차, 확률과 같은 개념이 등장하는 이유입니다.
즉 계산의 최종 단계에서는 사칙연산이 사용되더라도 어떤 계산을 해야 하는지 판단하기 위해서는 더 높은 수준의 수학적 개념이 필요할 수 있습니다.
함수는 실제 생활에서 정말 사용하지 않는 것일까?
학생들에게 특히 추상적으로 느껴지는 개념 가운데 하나가 함수입니다.
학교에서는 흔히
y = 2x + 3
같은 식을 놓고 그래프를 그립니다.
학생 입장에서는 이런 생각이 들 수 있습니다.
“내가 성인이 되어서 언제 y = 2x + 3을 계산한다는 말인가?”
실제로 이런 식을 종이에 적어서 계산할 일은 거의 없을 수 있습니다.
그러나 함수의 핵심은 식 자체가 아닙니다.
“하나의 값이 변할 때 다른 값이 어떻게 변하는가?”라는 관계를 표현하는 것이 함수의 핵심입니다.
판매량이 증가하면 매출은 어떻게 변하는가?
가격을 올리면 수요는 어떻게 변하는가?
자동차 속도가 증가하면 제동거리는 어떻게 달라지는가?
대출 기간이 길어지면 총이자는 어떻게 변하는가?
온도가 올라가면 전력 사용량은 어떻게 달라지는가?
이러한 관계를 수학적으로 표현하는 도구가 함수입니다.
따라서 우리는 함수식을 직접 계산하지 않더라도 함수적인 관계로 이루어진 세상에서 살아가고 있다고 볼 수 있습니다.
그렇다면 미분과 적분은 왜 배우는 것일까?
미분과 적분은 학생들이 “이걸 도대체 어디에 사용하지?”라고 생각하기 쉬운 대표적인 분야입니다.
미분은 아주 간단하게 말하면 변화가 얼마나 빠르게 일어나는지를 분석하는 수학입니다.
자동차의 위치가 시간에 따라 변한다면 그 변화에서 속도를 생각할 수 있고, 속도가 다시 시간에 따라 변한다면 가속도를 생각할 수 있습니다.
경제에서는 비용이나 수익의 변화, 공학에서는 물체의 운동, 전기와 신호의 변화, 자연과학에서는 각종 물리량의 변화 등을 분석할 때 미분의 개념이 활용됩니다.
적분은 작은 변화나 양을 계속 누적하여 전체를 파악하는 것과 관련되어 있습니다.
물리학, 공학, 통계학, 경제학 등 수많은 분야에서 사용됩니다.
문제는 미분과 적분이 쓸모가 있느냐가 아닙니다.
분명히 매우 중요한 수학입니다.
더 흥미로운 질문은 이것입니다.
“미분과 적분을 실제로 사용할 가능성이 낮은 학생까지 반드시 같은 수준으로 배워야 하는가?”
이 지점부터 수학의 문제가 아니라 교육철학의 문제가 시작됩니다.
학교는 미래의 직업을 미리 알 수 없다
수학 교육을 옹호하는 강력한 이유 가운데 하나는 어린 학생의 미래를 미리 알 수 없다는 것입니다.
중학생에게
“너는 앞으로 미분을 사용할 직업을 가질 거니?”
라고 물어봐도 정확하게 대답하기 어렵습니다.
현재 변호사를 꿈꾸는 학생이 나중에 컴퓨터공학을 전공할 수도 있고, 요리사가 되고 싶었던 학생이 생명공학자가 될 수도 있습니다.
만약 어린 나이에
“이 학생에게 고등수학은 필요 없을 것이다.”
라고 판단하고 수학 교육을 중단했다가 학생이 나중에 공학이나 자연과학을 공부하고 싶어지면 큰 문제가 발생합니다.
이미 필요한 기초과정을 배우지 못했기 때문입니다.
따라서 공교육에서는 일정 수준까지 다양한 분야의 기초를 모든 학생에게 제공하려고 합니다.
수학뿐 아니라 역사, 과학, 음악, 미술 등을 모두 배우는 것도 비슷한 이유로 설명할 수 있습니다.
수학 교육의 또 다른 목적은 ‘생각하는 방법’에 있다
수학교육에서 자주 등장하는 설명은 수학이 단순한 계산 기술이 아니라 사고 훈련이라는 것입니다.
예를 들어 어떤 문제를 풀려면 먼저 주어진 조건을 확인해야 합니다.
무엇을 알고 있는가?
무엇을 구해야 하는가?
어떤 공식이나 원리를 사용할 수 있는가?
조건들 사이에는 어떤 관계가 있는가?
내가 구한 답이 논리적으로 맞는가?
이 과정을 반복하면서 문제를 구조화하는 연습을 하게 됩니다.
OECD 역시 수학적 소양을 단순 계산 능력으로 정의하지 않습니다. 수학적으로 추론하고 현실의 다양한 문제를 수학적으로 표현하고 활용하고 해석하여 판단하는 능력을 중요하게 봅니다.
즉 학교에서 방정식 문제를 푸는 목적은 성인이 된 후 방정식을 매일 풀게 하기 위해서만은 아닙니다.
문제를 분석하고, 관계를 찾고, 규칙에 따라 추론하고, 답을 검증하는 사고 과정을 훈련한다는 의미도 있습니다.
그런데 정말 수학을 배우면 사고력이 좋아질까?
여기에서는 조금 조심할 필요가 있습니다.
“수학을 공부하면 무조건 논리적인 사람이 된다.”
이렇게 단정할 수는 없습니다.
수학 문제를 많이 풀었다고 해서 모든 현실 문제를 합리적으로 판단하는 것도 아닙니다.
특히 공식을 암기하고 정해진 유형을 반복해서 푸는 교육이라면 사고력보다는 시험 문제를 해결하는 기술이 발달할 수도 있습니다.
따라서 중요한 것은 수학의 양뿐 아니라 수학을 어떻게 가르치는가입니다.
왜 이런 공식이 만들어졌는지, 어떤 문제를 해결하기 위해 이런 개념이 등장했는지, 현실에서 어떻게 활용되는지를 이해한다면 수학은 흥미로운 사고 훈련이 될 수 있습니다.
반대로 시험 날짜에 맞춰 빠른 속도로 진도를 나가고 공식과 문제 유형을 외우게 한다면 학생에게 수학은 이해의 대상이 아니라 견뎌야 하는 과목이 될 수도 있습니다.
학생들이 수학을 싫어하는 진짜 이유는 수학 자체일까?
어린아이들은 숫자를 반드시 싫어하지 않습니다.
블록의 개수를 세고, 물건을 나누고, 누가 더 많이 가지고 있는지 비교하는 활동은 자연스럽게 합니다.
문제는 학교 수학이 점점 추상화되면서 발생합니다.
어떤 개념을 충분히 이해하기 전에 다음 단원으로 넘어가고, 다시 그 개념을 바탕으로 더 어려운 개념이 등장합니다.
수학은 특히 앞부분의 이해가 뒷부분에 영향을 많이 미치는 과목입니다.
분수를 제대로 이해하지 못한 학생에게 방정식이 등장하고, 방정식이 익숙하지 않은 상태에서 함수가 등장하고, 함수가 어려운데 미분과 적분까지 배우게 된다면 학생은 어느 순간부터 수학을 이해하기보다 포기하게 될 수 있습니다.
여기에 시험과 입시가 결합됩니다.
천천히 생각할 시간이 필요한 학생에게도 정해진 기간 안에 동일한 범위를 학습하도록 요구합니다.
결국 문제는 “수학이라는 학문이 악한가?”가 아니라 “모든 학생에게 같은 속도와 평가방식으로 수학을 학습시키는 것이 적절한가?”로 바꾸어 생각할 필요가 있습니다.
학교 수학은 언제부터 이렇게 중요해졌을까?
수학 교육은 현대에 갑자기 만들어진 것이 아닙니다.
고대 사회에서도 산술과 기하학은 중요한 지식이었습니다.
토지를 측량하고 건축물을 만들고 세금을 계산하고 천체를 관측하고 달력을 만드는 데 수학이 필요했습니다.
고대 그리스에서는 수학이 단순한 계산을 넘어 논리와 철학적 사고를 훈련하는 학문으로 발전했습니다.
이후 유럽의 전통적인 교육에서도 산술과 기하학은 중요한 학문 영역으로 이어졌습니다.
근대 이후 과학혁명과 산업화가 진행되면서 수학의 중요성은 더욱 커졌습니다.
물리학, 천문학, 측량, 항해, 기계공학, 건축, 군사기술 등에 수학이 필요했고 산업사회가 발전하면서 과학·기술 인력을 체계적으로 교육할 필요성도 커졌습니다.
현대의 대중적인 학교교육이 확대되면서 과거 일부 계층이 배우던 수학이 점차 일반 학생의 교육과정으로 들어오게 되었습니다.
따라서 오늘날의 학교 수학은 오랜 역사 속에서 과학기술 발전, 국가 교육제도, 대학 진학 체계 등이 겹쳐 만들어진 결과라고 보는 것이 적절합니다.
수학에는 ‘교육’ 외에 ‘선발’이라는 기능도 있다
현실적으로 빼놓을 수 없는 부분이 있습니다.
수학은 학생을 평가하고 선발하는 데 매우 편리한 과목입니다.
많은 수학 문제는 비교적 정답이 명확합니다.
시험을 대규모로 시행하고 점수를 비교하기 쉽습니다.
난이도를 조절하면 학생들의 점수 분포를 만들어내기도 좋습니다.
그래서 대학입시나 각종 시험에서 수학은 오랫동안 중요한 평가도구가 되어 왔습니다.
이 지점에서 수학교육에 대한 논쟁이 생깁니다.
학생에게 필요한 수학을 가르치는 것과 학생을 구분하기 위한 어려운 수학 문제를 출제하는 것은 같은 목적이 아니기 때문입니다.
교육이 시험을 위한 수학으로 지나치게 기울어지면 학생들은 “왜 이런 개념이 존재하는가?”보다 “시험에서 이 유형이 나오면 어떤 공식을 넣어야 하는가?”를 먼저 배우게 됩니다.
수학의 교육적 가치와 시험의 선발 기능을 구분해서 생각할 필요가 있는 이유입니다.
다른 나라 학생들도 우리처럼 수학을 배울까?
한국만 학생들에게 수학을 가르치는 것은 아닙니다.
영국의 국가 교육과정은 수학을 일상생활뿐 아니라 과학·기술·공학과 금융 이해 등에 중요한 학문으로 설명하고, 기본기를 익히는 것과 함께 수학적으로 추론하고 문제를 해결하는 능력을 목표로 제시합니다.
일본 역시 중학교 수학에서 양수와 음수, 문자와 방정식, 도형, 비례와 반비례 등을 배우면서 수학적으로 현상을 고찰하고 표현하는 능력을 기르는 것을 목표로 하고 있습니다.
미국의 Common Core 수학 기준도 단순히 많은 내용을 넓게 배우는 방식보다는 핵심 개념을 보다 집중적이고 일관되게 학습하고 개념을 이해하는 방향을 강조합니다.
OECD PISA 역시 세계 여러 교육체계를 평가할 때 단순한 계산 능력만 보는 것이 아니라 현실 문제를 수학적으로 해석하고 판단하는 ‘mathematical literacy’를 강조합니다.
따라서 “한국만 불필요하게 어려운 수학을 가르친다”고 말하기는 어렵습니다.
세계 여러 나라에서도 대수, 함수, 기하, 확률과 통계 등의 수학을 가르칩니다.
다만 국가별로 필수 범위, 학습 시기, 과정 선택, 시험의 난이도와 대학입시에서 차지하는 비중은 다를 수 있습니다.
오히려 세계 수학교육도 변화를 고민하고 있다
흥미로운 점은 국제적인 수학교육의 방향 역시 과거의 방식을 그대로 유지하는 데만 머물러 있지 않다는 것입니다.
OECD는 2025년 미래지향적 수학교육과정을 다룬 자료에서 데이터 리터러시, 컴퓨팅 사고, 문제 해결 등의 역량을 강조하면서 동시에 교육과정의 내용이 지나치게 많아지는 문제와 실제 활용 사이의 간극도 중요한 과제로 지적했습니다.
이는 매우 중요한 변화입니다.
과거에는 복잡한 계산을 사람이 직접 수행해야 했습니다.
하지만 오늘날에는 계산기, 엑셀, 통계 프로그램, 컴퓨터 프로그래밍, 인공지능 등이 많은 계산을 대신할 수 있습니다.
그렇다면 미래의 수학교육에서는
“이 계산을 얼마나 빠르게 할 수 있는가?”
보다
“어떤 계산이 필요한지 판단할 수 있는가?”
“컴퓨터가 계산한 결과가 타당한지 판단할 수 있는가?”
“데이터가 우리를 속이고 있지는 않은가?”
같은 능력이 더욱 중요해질 가능성이 있습니다.
그렇다면 모든 학생에게 같은 수학을 가르쳐야 할까?
이제 처음의 질문으로 돌아갈 수 있습니다.
모든 학생에게 동일한 수준의 고등수학을 가르치는 것이 가장 좋은 방법일까요?
반드시 하나의 답만 있는 문제는 아닙니다.
공통교육을 지지하는 입장에서는 학생의 미래 가능성을 너무 일찍 제한해서는 안 된다고 주장할 수 있습니다.
반대로 선택교육을 확대해야 한다는 입장에서는 학생마다 적성과 진로가 다른데 모두에게 동일한 고난도 수학을 요구하는 것은 비효율적이라고 주장할 수 있습니다.
두 주장 모두 일리가 있습니다.
그래서 현실적인 대안은 수학을 완전히 없애는 것보다는 일정 수준의 공통수학과 진로에 따른 전문수학을 보다 명확하게 구분하는 방식일 수 있습니다.
‘교양수학’과 ‘전문수학’을 나누면 어떨까?
모든 학생에게 고도의 수학을 동일하게 요구하기보다는, 일상생활과 사회생활에서 실제로 활용할 가능성이 높은 내용을 ‘수학적 교양’의 핵심으로 강화하는 방법을 생각해 볼 수 있습니다.
물론 실제 교육과정을 단순히 ‘교양수학’과 ‘전문수학’ 두 가지로만 명확하게 나누는 것은 쉽지 않습니다.
그러나 “모든 학생에게 똑같은 고난도 수학을 요구하는 방식”과 “수학을 거의 가르치지 않는 방식” 사이에는 다양한 교육 방법이 존재합니다. 모든 학생에게 필요한 수학적 기초는 탄탄하게 가르치되, 더 높은 수준의 수학은 진로와 적성에 따라 깊게 배울 수 있도록 선택의 폭을 넓히는 것도 하나의 교육 방향이 될 수 있습니다.
수학의 가장 큰 문제는 ‘왜 배우는지’를 알려주지 않는 데 있을지도 모른다
학생이 수학을 싫어하는 이유 가운데 하나는 자신이 지금 무엇을 하고 있는지 모르기 때문일 수 있습니다.
예를 들어 미분을 처음 가르칠 때 공식부터 제시하기보다
“움직이는 자동차의 속도를 특정 순간에 어떻게 알아낼 수 있을까?”
라는 질문에서 출발할 수 있습니다.
삼각함수를 배울 때도 sin, cos, tan을 암기하기 전에
“직접 올라가지 않고 건물의 높이를 어떻게 측정할 수 있을까?”
라는 문제에서 시작할 수 있습니다.
확률을 배울 때는 주사위 문제에만 머무르지 않고 보험, 투자, 질병검사, 날씨예보처럼 실제 불확실성을 어떻게 판단하는지 연결할 수 있습니다.
로그를 배울 때는 단순히 log라는 기호부터 암기시키기보다 매우 큰 범위의 수를 효율적으로 다루기 위해 왜 이런 개념이 필요해졌는지 보여줄 수 있습니다.
이렇게 배우면 같은 수학도 전혀 다르게 느껴질 수 있습니다.
“시험에 나오니까 외워라.”
“인류가 이런 문제를 해결하려고 고민하다가 이 방법을 만들었다.”
는 완전히 다른 교육입니다.
결국 질문은 ‘수학이 필요한가?’보다 ‘어떤 수학을 어떻게 가르칠 것인가?’이다
처음에는 이런 질문에서 출발했습니다.
“사회에 나가서 사용하지도 않을 수학을 우리는 왜 그렇게 오랫동안 배우는가?”
살펴보면 답은 생각보다 복잡합니다.
실제로 많은 사람은 학교에서 배운 미분, 적분, 삼각함수, 복소수 등을 졸업한 뒤 직접 사용할 일이 거의 없습니다.
따라서 모든 학생에게 어느 수준까지 수학을 의무적으로 가르쳐야 하는가에 대한 문제 제기는 충분히 의미가 있습니다.
그러나 그렇다고 해서 고등수학이 쓸모없는 지식이라는 결론으로 바로 이어지는 것도 적절하지 않습니다.
우리가 사용하는 스마트폰, 자동차, 인터넷, GPS, 인공지능, 금융시스템, 건축물, 의료장비, 반도체 등 현대 문명의 수많은 기술 뒤에는 높은 수준의 수학이 숨어 있습니다.
다만 그것을 모든 사람이 직접 계산할 필요는 없습니다.
바로 여기에 교육의 어려움이 있습니다.
사회 전체에는 고급 수학이 반드시 필요하지만 사회 구성원 모두가 같은 깊이의 고급 수학을 필요로 하는 것은 아닙니다.
그렇다면 앞으로의 수학교육은 단순히 더 많은 공식을 가르치는 방향보다 학생들이 기본적인 수학적 소양을 갖추도록 하면서 자신의 적성과 진로에 따라 더 깊은 수학으로 들어갈 수 있도록 설계하는 방향을 고민할 필요가 있습니다.
그리고 무엇보다 중요한 것은 수학을 배우는 학생에게 최소한 한 가지 질문에 답해주는 것입니다.
“도대체 이것을 왜 배우는가?”
학생이 그 이유를 이해한다면 어려운 수학도 흥미로운 도전이 될 수 있습니다.
반대로 이유도 모른 채 시험을 위해 공식과 풀이법만 반복한다면 인류가 수천 년에 걸쳐 발전시킨 아름다운 학문이 학생에게는 가장 싫어하는 과목으로 남을 수도 있습니다.
어쩌면 우리가 다시 생각해야 하는 것은 수학의 필요성 자체가 아닐지도 모릅니다.
수학이라는 거대한 학문 가운데 무엇을 모든 사람이 알아야 하고, 무엇을 필요한 사람이 더 깊게 공부해야 하며, 그것을 어떤 순서와 속도로 가르쳐야 하는가.
바로 그 질문이 앞으로의 수학교육에서 더욱 중요해질 것입니다.
수학을 왜 배우는지, 그리고 실제 교육과정에서는 수학을 어떤 목적으로 가르치는지 더 자세히 알고 싶다면 아래의 공식 자료를 참고할 수 있습니다.
수학이 단순한 계산을 넘어 생각하는 방법을 훈련하는 학문이라면, 철학은 우리가 세상을 어떻게 바라보고 삶의 문제에 어떻게 대응할 것인지를 고민하게 합니다. 특히 스토아학파는 감정에 휘둘리지 않고 이성적으로 판단하며, 자신이 통제할 수 있는 것에 집중하는 태도를 강조합니다.
